Notion d'inverse modulo un entier

Définition

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .
On dit que \(a\) est inversible modulo \(n\) s'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(ka \equiv 1 \ [n]\) .
On dit alors que \(k\) est un inverse de \(a\) modulo \(n\) .

Exemples

On a observé dans un exemple précédent que :

• \(2\) est un inverse de \(3\) modulo \(5\) , car \(2 \times 3 = 6 \equiv 1 \ [5]\) ;
• \(2\) n'a pas d'inverse modulo \(6\) , car \(2x\) n'est jamais congru à \(1\) modulo \(6\) .